Математика

Архивы

Календарь

Октябрь 2020
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Апр    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031  

метки

Обоснование математического анализа академик арнольд арифметика непрерывности математика обоснование математики парадоксы зенона проблема несоизмеримости теорема кантора теория "бесконечно больших чисел" теория "бесконечно исчезающих величин" теория множеств теория чисел ученый-физик

« Решение проблемы обоснования анализа | Главная

Бред Кантора о «множествах» как могильная плита для математики в виде ее «краеугольного» камня

Автор: admin | 03 Апр 2009

Рогов П. В.

Бред Кантора о «множествах»
как могильная плита для математики
в виде ее «краеугольного» камня

____Подводя итоги 2007-2008 учебного года, министр образования и науки РФ А. А. Фурсенко сообщил, что около четверти выпускников российских школ не сдали экзамены по математике. Однако из этого вовсе не следует, будто причиной тому является низкое качество ее преподавания в наших школах, ибо учителя тут абсолютно ни при чем. Ведь они учат детей строго по специально составленным для этого программам и учебникам. Так что причину здесь надо искать не в том, как преподают математику в школе, а в том, чему сегодня учит сама математика, то есть в сущности ее содержания. И в подтверждение сказанному еще раз приведу такой, уже упоминавшийся мною в одной из статей, пример.

____В октябре 1998 года в Ватикане состоялась сессия Папской академии наук на тему «Изменение представлений о природе на закате тысячелетия». С докладом на ней под названием «Антинаучная революция и математика» выступил президент Московского математического общества, вицепрезидент Международного математического союза, главный научный сотрудник Математического института РАН им. В. А. Стеклова, академик В. И. Арнольд, который, в частности, сказал следующее:

____«Расцвет математики в уходящем столетии сменяется тенденцией подавления науки и научного образования обществом и правительствами большинства стран мира. Ситуация сходна с историей эллинистической культуры, разрушенной римлянами, которых интересовал лишь конечный результат, полезный для военного дела, мореплавания, архитектуры…

____Американизация общества в большинстве стран, которую мы наблюдаем сейчас, может привести к такому же уничтожению науки и культуры современного человечества…

____Математика сейчас, как и два тысячелетия назад, – первый кандидат на уничтожение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных рабов невежественными. Правительства всех стран начали исключать математические науки из программ средней школы…

____Российское правительство пытается довести преподавание математики до американских стандартов…

____К несчастью, я не могу отрицать виновности математического сообщества в совре-менном неприятии математики общественным сознанием…

____Человеческий мозг состоит из двух полушарий – левого и правого. Левое ответственно за языки, последовательности силлогизмов, интриги и т. п. Правое полушарие управляет пространственной ориентацией, эмоциями и всем нужным для реальной жизни. … Эта болезнь – а это действительно болезнь – составляет силу лиц с гипертрофированным левым полушарием. Обычно она сопровождается недоразвитием правого полушария и соответствующим комплексом неполноценности.

____В середине XX столетия обладавшая большим влиянием мафия “левополушарных математиков” сумела исключить геометрию из математического образования (сперва во Франции, а потом и в других странах), заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями …

____Определим умножение натуральных чисел с помощью правила умножения “столбиком”. Коммутативность умножения (ab = ba) становится тогда трудной теоремой, которую, однако, можно строго доказать, выведя ее из этого определения. Заставляя несчастных школьников учить подобные доказательства, “левополушарные преступники” создали современное резко отрицательное отношение общества и правительства к математике.

____Коммутативность умножения можно понять, только пересчитывая по рядам и шеренгам выстроенную роту солдат или же вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Все попытки избежать этого вмешательства реального мира в математику – сектантство, которое восстанавливает против себя любого разумного человека и вызывает у него отвращение к этой науке, к умножению и к любым доказательствам. Подобное “абстрактное” описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений.

____Несмотря на это, “левополушарные больные” сумели вырастить целые поколения математиков, которые не понимают никакого другого подхода к математике и способны лишь учить таким же образом следующие поколения. Отвращение к математике со стороны министров, подвергшихся в школе унизительному опыту подобного обучения, – здоровая и законная реакция. К сожалению, это их отвращение распространяется на всю математику и может убить ее целиком» [1].

____Таким образом, перед нами вырисовывается следующая картина. Один из ведущих российских математиков, академик, то есть высокопоставленный представитель государственного ведомства, которое на протяжении многих десятилетий определяло и до сих пор продолжает определять в нашей стране судьбу всей науки в целом и математики в частности, вдруг обращается с жалобой на некую секту «левополушарных математиков» к ватиканским теологам. И обвиняет он этих сектантов в покушении на уничтожение математики, а именно в том, что они сделали ее «описание» совершенно непригодным «ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений». А поскольку такое описание «восстанавливает против себя любого разумного человека и вызывает у него отвращение к этой науке», которое «распространяется на всю математику», то оно «может убить ее целиком».

____Конечно, всякие действия, направленные на уничтожение математики и впрямь носят преступный характер. Тут В. И. Арнольд абсолютно прав. Нельзя не отметить также точность определения им сути этих действий, заключающейся, по его словам, в замене содержательной стороны математики формальным манипулированием абстрактными понятиями с целью не допустить вмешательства в нее реального мира.

____Но зачем ему понадобилось обвинять в этом преступлении каких-то явно надуманных «левополушарных больных», якобы страдающих «гипертрофией левого полушария» и «недоразвитием правого»? И почему он жалуется на них именно в Ватикан? Эти вопросы остаются открытыми

____Что же касается его утверждения о том, будто расцвет математики начал сменяться тенденцией к ее подавлению где-то во второй половине предыдущего двадцатого столетия, то оно не соответствует действительности. На самом деле эта тенденция возникла значительно раньше, появившись одновременно с началом бурного развития математики еще в эпоху Возрождения, пришедшую на смену средневековому застою. А на момент выступления В. И. Арнольда в Ватикане никакой угрозы «подавления» или «уничтожения» математики уже не было. Ибо она к тому времени, как предельно строгая и точная наука, успела прекратить свое существование, уступив место откровенной ахинее, излагаемой на языке наукообразного словоблудия и не имеющей никакого отношения к подлинной науке. Этой-то формалистской пародией на математику теперь и потчуют у нас всех поголовно, начиная с учащихся начальных классов и кончая студентами высших учебных заведений.

____Ведь что такое наука?

____Наука – это область человеческой деятельности, направленной на выявление и изучение тех или иных особенностей, присущих объективной реальности.

____Поэтому определение понятия подлинной математики – математики естества – было таковым.

____Математика есть наука, изучающая количественные отношения и пространственные формы, свойственные объективной реальности.

____А то, чему сейчас у нас учат под видом математики, представляет собой не что иное, как «математику» желаемого или, попросту говоря, лжематематику, и определяется она на жаргоне ее адептов как «наука о чистых, абстрактных структурах». Где «абстрактность» всевозможных «структур» – различных мысленных построений, конструкций – заключается в их «чистоте», то есть в полной их свободе от необходимости быть каким-либо отражением того, что свойственно реальной действительности. Откуда вопрос о достоверности всякого рода суждений, касающихся подобных «структур», является в рамках лжематематики неправомерным и не подлежащим никакому обсуждению. Поэтому мы рассмотрим его здесь с точки зрения подлинной математики.

* * *

____По своему содержанию лжематематика в целом представляет собой набор всевозможных спекуляций относительно представлений о сущности таких понятий, как величина, число, бесконечность и непрерывность. А ее основными методами убеждения окружающих в «абсолютной непогрешимости» и «исключительной научной ценности» этих спекуляций являются одни лишь мистификации да фальсификации.

____Причем у лжематематиков, обманывающих людей в угоду своим корыстным интересам, как и у всякого другого преступного сообщества, последнее слово относительно оценки справедливости какого-то мнения остается за образующими их элиту отдельными «авторитетами». В то время как в подлинной математике истинность любого утверждения должна подтверждаться путем предоставления неопровержимого доказательства, построенного по единым для всех правилам.

____Ведь рождением математики в качестве целостной научной дисциплины человечество обязано древнегреческим мыслителям. Воспользовавшись знаниями, приобретенными вавилонянами, египтянами и другими народами Востока, они приложили немало усилий для их дальнейшего развития. А одним из основателей своей культуры и науки сами древние греки считали Фалеса из Милета (ок. 624-547 до н. э.), вклад которого в дело совершенствования математических знаний состоял в том, что он первым установил принцип оценки достоверности этих знаний, заключающийся в следующем.

____Достоверным (или истинным) можно признать только такое математическое утверждение, справедливость которого подтверждается либо его очевидностью, либо неопровержимым доказательством.

____Причем под доказательством истинности какого-нибудь утверждения подразумевалось поэтапное выведение его посредством приведения некоторой последовательности умозаключений, не вызывающих в своей справедливости никаких сомнений в силу их очевидности. Но, как известно, наиболее убедительным и совершенно очевидным является все то, что подлежит непосредственному наблюдению. Поэтому, следуя принципу Фалеса, древние греки придавали особое значение наглядности и излагали математические знания преимущественно в геометрической форме.

____Кроме того, на основе этого принципа ими был впоследствии установлен строгий порядок построения математических теорий. Исходя из него, описание всякой такой теории следовало начинать с приведения определений исходных понятий изучаемых ею объектов, дабы раскрыть их сущность. Далее требовалось изложить необходимое и достаточное количество исходных положений теории, устанавливающих основные отношения между предметами ее изучения и являющихся столь очевидными, что их истинность не нуждается в доказательстве. А уж потом из этих положений можно было путем предоставления доказательств их справедливости выводить утверждения теории, изначально не обладающие непосредственной очевидностью.

____Таким образом, если математические знания, заимствованные греками у других народов, представляли собой поначалу некую копилку премудростей, являющихся непреложными истинами, понятными лишь избранным, то, благодаря Фалесу, эти знания превратились в доказуемые истины, доступные пониманию простых людей. В результате чего установление ма-тематических истин в Древней Греции стало одним из массовых увлечений. При этом многие ее граждане начали заниматься математикой не только для решения каких-то конкретных практических задач, но и постольку, поскольку полагали такое занятие крайне интересным, чрезвычайно полезным для общего развития и потому исключительно достойным.

____Разумеется, указанное увлечение древних греков не могло не привести к возникновению определенных форм общения между теми, кто проявлял к математике особый интерес. И одной из таких форм стало объединение их в сообщества, первое из которых, представлявшее собой философско-математическую школу, было создано в г. Кротоне около 540 года до нашей эры Пифагором (ок. 571 – 497 до н. э.). Причем его собственный глубокий интерес к ма-тематике был вызван той мировоззренческой позицией, которую он занимал в вопросе о сущности мироустройства.

____Пифагор считал, что все происходящее в природе является закономерным, а потому именно «число есть сущность всех вещей, и организация Вселенной в ее определениях представляет собой вообще гармоническую систему чисел и их отношений» [2].

____Таким образом, он был первым, кто указал на исключительную важность использования математических методов в процессе познания и освоения действительности.

____Исходными положениями заложенных пифагорейцами основ математики являлись понятия измерения, величины и числа, суть которых сводилась у них к следующему.

____Измерение есть процесс установления количественной определенности чего-либо.

____Величина есть такая из присущих чему-нибудь особенностей (как, например: протяженность, площадь, объем и т. д.), которая подлежит измерению.

____Число же есть количество, полученное в результате измерения той или иной величины.

____Тем самым понятия числа и величины у пифагорейцев отличались друг от друга. И это различие являлось для них совершенно очевидным. Ведь всем понятно, что между такой величиной, как протяженность, равная, предположим, 5-ти метрам, и числом 5 есть существенная разница. Поэтому так называемые ныне «дробные числа» пифагорейцы называли не числами, а отношениями чисел.

____Кроме того, следуя принципу Фалеса, они ради наглядности представляли единицу точкой, а остальные числа составленными из точек геометрическими фигурами. Так, числу 2 у них соответствовали две точки, образующие концы отрезка, числу 3 – три вершины треугольника, числу 4 – четыре вершины квадрата или пирамиды (тетраэдра) и т. д. С помощью чисел пифагорейцы выражали и длины отрезков, служивших у них основой построения всевозможных фигур. Что позволяло им устанавливать свойства чисел, являвшиеся одновременно и свойствами, присущими геометрическим величинам.

____А отношение двух любых однородных величин выражалось у них или числом, или отношением двух чисел. Ведь каждому ясно, что, например, отношение величин 12 см : 3 см в результате сокращения единиц измерения будет равно числу 4, в то время как отношение величин 3 см : 12 см будет равно отношению чисел 3 : 12 = 1 : 4. Но отсюда, как видим, не следует, будто из равенства 3 см : 12 см = 1 : 4, представляющего собой пропорцию, получается, что понятия величины и числа являются тождественными. И пифагорейцы, прекрасно понимая это, отождествляли не сами понятия величины и числа, а равные друг другу (образующие друг с другом пропорцию) отношения между величинами и между числами.

____Поэтому, строго различая понятия величины и числа, они при рассмотрении отношений между числами и величинами руководствовались следующим правилом.

____Отношение между величинами равно отношению между соответствующими числами, то есть

а ед. изм. : b ед. изм. = а : b.

____Откуда, как было ими установлено, получается, что отношение величины к числу или их произведение является величиной, то есть

а ед. изм. : b = (а : b) ед. изм. и а ед. изм. × b = (а × b) ед. изм.

____Правда, сначала пифагорейцы полагали, что для любого отношения величин непременно имеется равное ему отношение чисел. Однако в V веке до нашей эры ими было доказано, что для отношения величин, коими являются длина диагонали всякого квадрата и длина его стороны, равного ему отношения чисел не существует.

____Особое значение в своих математических исследованиях пифагорейцы придавали фундаментальным противоположностям, рассматривая такие из них, как единица и множество, предел и беспредельное, четное и нечетное.

* * *

____В отличие от основанной пифагорейцами подлинной математики, наиболее характерной особенностью лжематематики является смешение в ней различных понятий.

____Так, например, для нее не существует никакой разницы между понятиями величины и числа. И ее приверженцы, чтобы как-то оправдать смешение этих понятий, ссылаются обычно на древнегреческого математика Евдокса Книдского (410 – 356 до н. э.). При этом они уверяют, якобы он был первым, кто стал называть «числом» длину (то есть величину) всякого отрезка и изображать числа точками на ведущем в бесконечность луче, заложив тем самым основы теории «иррациональных чисел». Но все это – откровенная ложь, цель распространения которой заключается в том, чтобы внушить окружающим, будто лжематематика возникла не на пустом месте, а имеет свои «далеко уходящие вглубь веков исторические корни».

____Отождествляются в лжематематике также и понятия, образующие друг с другом фундаментальные противоположности.

____А начало такого смешения существенно отличающихся друг от друга понятий было положено Г. Кантором (1845-1918) в его «учении о множествах».

____По словам лжематематиков, это учение представляет собой на сегодняшний день «краеугольный камень всей современной математики». Однако на деле, как это будет показано ниже, оно составляет основу лишь самой лжематематики, а для подлинной математики является не чем иным, как могильной плитой. И в свое время многие известные математики выступали против учения Кантора.

____Так, Анри Пуанкаре (1854-1912), критикуя идеи канторизма, говорил следующее:

____«Понятие бесконечности уже давно было введено в математику. Но эта бесконечность была такой, какую философы называют потенциальной. В математике бесконечность обозначала количество, способное расти выше или ниже какого бы то ни было предела; это было изменяющееся количество, о котором можно было сказать, что оно перейдет все пределы, но нельзя было сказать, что оно их перешло. Кантор решил ввести в математику актуальную бесконечность, т. е. количество, не только способное перейти все пределы, но уже перешедшее через них. Он поставил себе вопросы вроде следующих: существует ли больше точек в пространстве, чем целых чисел? Существует ли больше точек в пространстве, чем точек на плоскости? И так далее.

____Число целых чисел, число точек в пространстве и т. д. составляет то, что Кантор назвал кардинальным трансфинитным числом, т. е. таким количественным числом, которое больше всех обыкновенных количественных чисел. Кантор затем занялся сравнением этих кардинальных трансфинитных чисел…

____Многие математики последовали за Кантором и поставили ряд аналогичных вопросов. Они в такой степени освоились с трансфинитными числами, что готовы поставить теорию конечных чисел в зависимость от теории кардинальных чисел Кантора. По их мнению, чтобы вести преподавание арифметики по действительно логическому методу, необходимо начать с установления общих свойств кардинальных трансфинитных целых чисел, а затем выделить из них очень небольшой класс обыкновенных целых чисел. Этим способом можно было бы достигнуть цели, т. е. доказать все предложения, относящиеся к этому небольшому классу (т. е. всю нашу арифметику и нашу алгебру), не прибегая ни к какому началу, лежащему вне логики.

____Этот метод, очевидно, противоречит всякой здоровой психологии. Конечно, не этим путем шел человеческий ум, создавая математику; и адепты нового метода, я полагаю, не думают ввести его на ступени среднего образования. Но по крайней мере логичен ли этот метод или, лучше сказать, безошибочен ли он? В этом можно усомниться.

____Однако геометры, пользовавшиеся этим методом, очень многочисленны. Они собрали массу формул. Написав мемуары, в которых формулы не чередовались со словесными объяснениями, как это делается в обыкновенных математических книгах, а в которых, следовательно, такие объяснения отсутствуют, они вообразили, что освободились от всего того, что не представляет собой чистой логики. К несчастью, они пришли к противоречивым результатам. Это так называемые антиномии Кантора…. Эти противоречия, однако, их не обескуражили, и они попытались внести такие изменения в свои правила, при которых обнаружившиеся ужу противоречия исчезли; но мы при этом не приобрели уверенности в том, что не обнаружатся новые противоречия.

____Настало время для справедливой оценки этих преувеличений. Я не надеюсь убедить упомянутых математиков: слишком долго дышали они своей атмосферой. Да и, кроме того, если вы опровергли одно из их доказательств, вы не можете быть уверены, что оно возродится лишь в слегка измененном виде. Некоторые из доказательств уже несколько раз возрождались из пепла, наподобие той лернейской гидры, у которой вырастали новые головы. Геркулес выпутался из затруднения, потому что его гидра имела девять голов, если не одиннадцать; но здесь слишком много голов: они имеются в Англии, в Германии, в Италии, во Франции, и Геркулес должен был бы отказаться от состязания. Я обращаюсь поэтому только к непредубежденным людям, обладающим здравым смыслом» [3].

____А вот что, указывая на опасность «отравления» теорией множеств, писал академик Л. С. Понтрягин (1908-1988):

____«В последнее время теоретико-множественная идеология усердно внедряется в программу и учебники средней школы. Авторы этого внедрения утверждают, что теория множеств важна для научно-технического прогресса и является новейшим достижением математики. В действительности теория множеств не имеет ничего общего с научно-техническим прогрессом и не является новейшим достижением математики. Теоретико-множественная идеология приводит, например, к таким уродствам, как замена термина «равенство» геометрических фигур термином «конгруэнтность» и определение вектора как «параллельный сдвиг пространства»» [4].

____К тому необходимо добавить еще, что адепты канторизма – люди, как правило, недалекие, а потому не способные к настоящему научному творчеству. Составляя значительную часть представителей казенной математики, они отличаются чрезвычайной амбициозностью и корыстолюбием. Эти липовые ученые готовы идти в своем неуемном стяжательстве на любую сделку с совестью, совершенно не стесняясь при этом торговать под видом подлинно научных знаний даже сущим бредом. Таким образом, они оказываются сродни тем бессовестным и наглым базарным торгашам, которые ради наживы, обманывая покупателей, выдают негодный товар за продукт высокого качества.

____Ведь ни для кого не секрет, что Кантор был душевно больным человеком. Он страдал маниакально-депрессивным психозом, и та болезнь, конечно же, не могла не найти свое отражение в результатах его математических исследований. По этому поводу, например, американский историк Джозеф У. Даубен пишет:

____«Имеется … определенная связь между болезнью Кантора и его научным творчеством. Некоторые документы говорят о том, что болезнь давала ему передышку от повседневных дел, которую он использовал для развития своих математических идей в уединении госпиталя или в спокойной обстановке дома. Возможно, болезнь также усиливала его веру, что идея трансфинитных чисел была внушена ему богом. После длительной госпитализации в 1908 г. он послал письмо одному из друзей в Гёттингене – математику Грейс Чисхольм Юнг, англичанке по происхождению. Как он писал, его маниакальная депрессия была побуждающим фактором:

____«Благодаря обстоятельствам судьбы, не только не сломившим меня, но фактически придавшим мне внутренние силы и сделавшим меня более счастливым и восприимчивым к радостям жизни, чем я был в последние годы, я оказался далеко от дома, можно сказать, далеко от мира…. В этой длительной изоляции интерес к математике, в частности к теории трансфинитных чисел не угасал во мне».

____В другом письме Кантор выражает убежденность в истинности своей теории в квазирелигиозных терминах:

____«Моя теория как скала; всякая стрела, направленная в эту скалу, тотчас же отскакивает от нее и устремляется к выпустившему ее. Уверен я в этом потому, что изучил ее со всех сторон за многие годы и рассмотрел все возражения, которые когда-либо делались против трансфинитных чисел, а также потому, что я исследовал ее корни, так сказать, до первой причины всего сотворенного»» [5].

____Таким образом, как видим, твердую уверенность в возможности реального существования «трансфинитных», то есть при подсчете исчерпываемых до конца (или, так сказать, «оконеченных») бесконечных количеств, Кантор обрел только после того, как дошел в своем маниакальном стремлении объять необъятное до «первой причины всего сотворенного». А до такого можно дойти, лишь после общения в болезненном бреду с самим «творцом всего су-щего». Так что к подлинной математике – математике естества – его «трансфинитные числа» не имеют никакого отношения. Однако это обстоятельство ничуть не смущало и не смущает сторонников канторизма в их черном деле по уничтожению математики в угоду своим собственным амбициям и корысти.

* * *

____Откровенное противоречие теории множеств естеству проявляется, начиная уже с определения Кантором самого понятия множества.

____Так, Роберт Р. Стол, бывший в середине прошлого столетия одним из известнейших проповедников канторизма и инициаторов движения по навязыванию принудительного изучения его основ детьми в школах, разъясняя сущность этого понятия, писал:

____«Согласно канторовскому определению, множество … есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами, или членами, множества….

____Существенным пунктом канторовского понимания является то, что собрание предметов само рассматривается как один предмет (мыслится как единое целое). Нет нужды еще раз подчеркивать, что внимание здесь переносится с отдельных предметов на их собрания, в свою очередь понимаемые как предметы – это обстоятельство очевидным образом отражено в таких словах нашего языка, как «компания», «стая», «стадо».

____Что касается предметов, которые могут входить в множество, то формулировка «объекты нашей интуиции или интеллекта» предоставляет нам в этом отношении значительную свободу. Прежде всего эта формулировка не накладывает никаких ограничений на природу предметов, входящих в множество. Множество может состоять, например, из зеленых яблок, песчинок или простых чисел. Однако для приложений математики, в качестве элементов множеств имеет смысл выбирать такие математические объекты, как точки, кривые, числа, множества чисел и т. п. Отметим также, что канторовская формулировка допускает рассматривать множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно указать. В этой связи стоит вспомнить, что элементы любого бесконечного множества даже теоретически нельзя собрать в законченную совокупность» [6].

____То есть отсюда получается, что слово «множество» должно всеми мыслиться, следуя Кантору, как нечто «единое целое», представляющее собой некое вместилище входящих в него элементов и имеющее свое отражение, например, в слове «стадо». При этом внимание здесь умышленно акцентируется исключительно на «вхождении» элементов во множество, на их «принадлежности» ему, однако старательно умалчивается о том, что всякое множество может существовать в качестве такового лишь постольку, поскольку оно образовано своими элементами и является итогом их объединения. А в заключение тут утверждается, что, помимо конечных количеств элементов, и всякое бесконечное их количество, которое «даже теоретически нельзя собрать в законченную совокупность», будет, тем не менее, тоже представлять собой множество как «единое целое».

____Но некоторые идут еще дальше и в своих кантористских проповедях, предназначенных для оболванивания школьников, рассуждают, например, насчет того же «стада» так:

____«В результате абстракции, например, неизбежно возникают понятия, относящиеся к более высокому иерархическому уровню, чем исходные. Таковым является, в частности, понятие множества, являющееся ключевым в современной математике.

____Чтобы убедиться, представим себе, что мы наблюдаем стадо, состоящее из пяти коров. Когда мы говорим о стаде, мы имеем в виду множество этих коров; и мы представляем его себе именно как отдельный самостоятельный предмет. Таким образом, получается шесть предметов: пять коров и стадо, состоящее из них.

____Но если нас спросят: «Сколько предметов вы видите? – мы ответим: «Пять!». Шестой предмет увидеть нельзя! Множество – это предмет, созданный нашей мыслью. Мы мысленно объединяем этих коров и представляем себе результат объединения как нечто целое, самостоятельное.

____Даже в учебниках по Математическому анализу с первых строк пишется: «Будем понимать под множеством интуитивное и неопределенное понятие». Георг Кантор …, создатель теории множеств, назвал этот мысленный акт «свертыванием»….

____В результате возникает абстрактный, воображаемый предмет. От уровня реально существующих предметов мы поднимаемся на более высокий иерархический уровень познания и попадаем в мир абстрактных понятий» [7].

____Читая эти рассуждения, начинаешь думать, что они принадлежат не иначе как одному из пациентов психиатрической клиники. Однако в действительности мы имеем здесь дело с типичным примером того, как кантористы одурачивают в данном случае детей. И суть всей этой ахинеи, призванной убедить их, что понятие «множества», придуманное Кантором, является «ключевым в современной математике», заключается в следующем.

____Сначала предлагается всем представить себе стадо, образованное пятью коровами и являющееся подлинным множеством, которое еще пифагорейцы при рассмотрении противоположности «единица-множество», считаемой ими фундаментальной, определяли как количество чего-либо, превышающее единицу. Поэтому, разумеется, такое множество-стадо вполне может быть воспринято как нечто единое целое и даже в определенной мере самостоятельное (в случае, например, отсутствия рядом пастуха). Так что реально существующих объектов тут и впрямь получается не пять, а шесть: каждая из пяти коров, образующих стадо, и все стадо в целом.

____Однако затем вдруг неожиданно заявляется, что, кроме того, здесь существует еще один (то есть на самом деле уже седьмой по счету) объект, коим является «множество» Кантора. Правда, оно представляет собой отнюдь не реальный объект, доступный непосредственному наблюдению, а «предмет, созданный мыслью» в процессе безудержной фантазии. Ибо, в отличие от подлинного множества, указанное «множество» наделено абсолютной «самостоятельностью», заключающейся в полной независимости от образующих его элементов. Поэтому увидеть его воочию не представляется возможным, как нельзя, например, увидеть наяву «стадо», состоящее из пяти коров, но способное пастись в поле самостоятельно, в отрыве от коров. Отсюда-то, к огромному сожалению кантористов, им и не удается придумать какое-нибудь мало-мальски вразумительное определение понятию такого «множества», полученного Кантором в результате «мысленного акта», именуемого «свертыванием», которое иначе как бредом не назовешь.

____Но авторы рассматриваемого сочинения так не считают, поскольку они узрели здесь очень важный, по их мнению, момент. И заключается он в «подъеме» с уровня познания реально существующего положения вещей – познания действительности – «на более высокий иерархический уровень», коим является познание вещей, откровенно противоречащих естеству. Причем, как оказывается, только в результате этого «подъема» и можно-то «попасть в мир абстрактных понятий», что в переводе со лжематематического языка наукообразного словоблудия означает «угодить в дремучие дебри больного воображения».

____Конечно, у любого человека, наделенного здравым рассудком, идея о «множествах-вместилищах» типа «коровьего стада», способного существовать самостоятельно, независимо от образующих его коров, может вызвать лишь недоумение, сопровождаемое глубоким сочувствием обладателю той больной головы, которую посетила столь странная мысль. Ибо совершенно очевидно, что наяву никакое вместилище быть множеством находящихся в нем предметов не может.

____В подтверждение чему рассмотрим, например, такое сугубо материальное и потому подлинное вместилище, как спичечный коробок, который как раз и представляет собой самостоятельный – абсолютно не зависящий от его содержимого – предмет. Ведь он может быть совершенно пустым, а также содержать всего лишь одну спичку или некоторое их количество, превышающее единицу, то есть множество спичек. Следовательно, как и любое другое реальное вместилище, этот коробок, до тех пор, пока он находится в единственном числе, никакого множества собой представлять не будет. А настоящее, истинное множество может быть образовано здесь только спичками, причем независимо от того, где они находятся: внутри предназначенного для них коробка или за его пределами.

____Таким образом, на поверку, как видим, выходит, что представление Кантора о «множестве», выступающем в качестве «вместилища» образующих его элементов, не выдерживает никакой критики и является совершенно абсурдным. Но что заставило его обратиться к такого рода «множествам» и даже пойти на создание целого учения о них?

* * *

____Защитив в свое время диссертацию по теории чисел, Кантор увлекся поисками решений проблем, связанных с представлениями различных непрерывных функций в виде бесконечных тригонометрических рядов. И, придерживаясь при этом атомистических взглядов, он определял непрерывность в геометрическом плане как совокупность ее минимальных (далее не делимых) частей, представляющих собой точки.

____Хотя на самом деле легко доказать, что никакую геометрическую непрерывность нельзя образовать из точек.

____А это означает, что представление о любом отрезке как совокупности точек является противоречивым, поскольку из таких «частей», «длина» которых равна нулю, нельзя составить что-либо, обладающее протяженностью.

____К тому же совершенно очевидно, что, на сколь мелкие равные части мы ни делили бы от-резок, получить в результате точку нам не удастся, поскольку при l > 0 и n > 0 отношение l/n не будет равно «длине» точки, то есть нулю. И, следовательно, точка может находиться в качестве места или метки лишь на отрезке, но никак не может принадлежать ему, быть его составной частью.

____Однако Кантор имел на сей счет иное мнение и, пытаясь доказать свою правоту, выдвинул идею, называемую ныне «аксиомой Кантора», суть которой, излагаемая, например, в одном из учебников для будущих учителей математики, заключается в следующем:

____То есть смысл этой «аксиомы» сводится к тому, что «стягивающийся» отрезок прямой, концы которого приближаются друг к другу бесконечно, имеет своим пределом точку.

____Но это утверждение противоречиво, поскольку, чтобы отрезок, уменьшаясь, достиг предела и превратился в точку, процесс его стягивания должен быть не бесконечным, как оговаривается в условии, а конечным. Только тогда концы отрезка сольются воедино, он исчезнет, его длина станет равной нулю, и вместо него останется лишь пустое место, или точка.

____Надо сказать, что Кантор не был одинок в своих заблуждениях. Так, постоянную поддержку во всех его начинаниях ему оказывал Р. Дедекинд (1831-1916), разделявший с ним, соответственно, и противоречащие естеству взгляды, касающиеся сущности понятия непрерывности. Более того, дедекиндово определение этого понятия является в лжематематике исходным положением теории измерения геометрических величин и теории канторовских «действительных чисел». И вот как это определение преподносится, правда, уже в другом учебнике, но тоже предназначенном для будущих учителей математики:

____«Одним из существенных пробелов системы аксиом Евклида является отсутствие аксиомы, определяющей понятие непрерывности геометрических образов. … Отсутствие аксиомы непрерывности не давало возможности с помощью аксиом Евклида обосновать теорию измерения геометрических величин.

____… Необходимость логического обоснования «очевидного» понятия непрерывности была до конца осознана лишь в XIX столетии. Это понятие было определено Дедекиндом следующей аксиомой.

____На этом рисунке наглядно отображено атомистическое представление Дедекинда о непрерывности «геометрических образов» как совокупности не подлежащих делению на части точек. Откуда смысл его рассуждений сводится к тому, что существует точка Р, принадлежащая отрезку [AB], который можно рассечь на две части либо с правой стороны этой точки, либо с левой (так, на приведенном рисунке изображено сечение отрезка, сделанное с правой стороны точки Р). И, следовательно, «точка» Р не может быть одновременно концом отрезка [AР] и началом отрезка [РВ].

____Но тогда из всей этой дедекиндовской галиматьи получается, что его неделимые «точки», вопреки определению Евклида, обладают, как и у Кантора, некоторой протяженностью и потому представляют собой в действительности не точки, а отрезки.

* * *

____Именно на почве представлений о точках как составных частях различных объектов изучения геометрии у Кантора и возникла несуразная идея, что любой точке декартовой оси координат должно соответствовать некоторое число.

____И, чтобы реализовать ее, он решил к подлинным, конечным числам добавить до конца не определенные в своих значениях бесконечные «числа», именуемые «иррациональными», и назвать всю эту смесь «действительными числами», дабы отличить их от «мнимых чисел», представляющих собой квадратный корень из «отрицательного числа». Что позволяло, по его мнению, построить непрерывную последовательность из чисел. Отсюда-то, кстати, и произошло такое всем известное ныне лжематематическое понятие, как «числовая ось», то есть «непрерывность, образованная точками-числами Кантора».

____Конечно, чрезвычайно трудно выдумать что-то еще более глупое и бесполезное, нежели «бесконечное число», представляемое в виде нескончаемой вереницы цифр. Но идеологи лжематематики, относя «открытие» такого «числа» к выдающимся научным достижениям, внушают всем, к примеру, следующее:

____«В первую очередь развитие математики связано с расширением понятия числа. … Основная идея этого обобщения или расширения понятия числа состояла в следующем. Если целым числам … соответствовали точки на числовой оси … с целыми координатами, и обратно…, то после введения действительных чисел каждая точка числовой оси получила свою координату и каждому действительному числу стала соответствовать какая-то точка на числовой оси. …

____Действительные числа обладают не только свойствами целых чисел, но и некоторыми новыми свойствами. Их можно складывать, умножать, делить, их можно возводить в степень, извлекать из них корни. Они приобрели новое свойство – между точками на действительной оси нет промежутков, они идут сплошь, непрерывно, подобно тому, как чертит линию карандаш или как течет река. А от точки с целой координатой к другой такой же точке приходилось перескакивать через отрезок длины, равный одной или нескольким единицам. Это свойство действительных чисел можно выразить словом непрерывность – множество действительных чисел обладает свойством непрерывности. Множество целых чисел обладает свойством дискретности или прерывности» [10].

____Как правило, именно так, распевая дифирамбы «действительным числам», лжематематики и вводят в заблуждение окружающих.

____Сначала тут говорится про «точки на числовой оси», а затем вдруг «на» отсюда, как бы невзначай, убирается и остается просто «точка числовой оси». Тем самым незаметно устанавливается знак равенства между представлениями об «истинной точке, как определенном месте, находящемся на декартовой оси координат», и «псевдоточке Кантора, являющейся составной частью его числовой оси»; хотя эти понятия, как говорилось выше, существенно отличаются друг от друга и смешению не подлежат.

____А далее насчет «действительных чисел» идет сплошной обман.

____Во-первых, на самом деле истинные числа соответствуют вовсе не точкам на оси координат, а их удаленностям от того места на ней, которое называется началом координат.

____О явной абсурдности сопоставления чисел точкам оси координат свидетельствует, например, геометрическое толкование сравнения чисел между собой. Ведь сравнивать по величине можно лишь отрезки оси, ограниченные какими-то ее точками, но нельзя сравнивать по величине точки, ибо они в геометрии естества никакой величиной не обладают. Так что всякое число соответствует не самой какой-то точке на оси координат, а исключительно ее удаленности от начала координат, то есть длине того отрезка оси, концом которого она является. И только одному нулю, в отличие от чисел, соответствует именно точка, представляющая собой для всех остальных точек на оси начало их координат.

____Во-вторых, сопоставление чисел точкам оси координат приводит к такому уродству, как отнесение к разряду чисел нуля.

____Ведь понятие нуля с начала его возникновения и на протяжении многих веков трактовалось исключительно как отсутствие всякого количества. Ибо считалось, что каждое число соответствует некоторому определенному количеству, а если вообще нет никакого количества, или оно есть, но по какой-то причине не подлежит определению, то нет тому и числа.

____Причем заметим, что лжематематическое превращение нуля в число, позволив несколько упростить выполнение с ним арифметических действий, породило, однако, целый ряд и по сей день остающихся открытыми проблем, носящих фундаментальный характер.

____В-третьих, с теми из «чисел», которые, будучи бесконечными, называются «иррациональными», невозможно производить какие-нибудь арифметические действия так же, как это делается с настоящими числами.

____И чтобы убедиться в том, попробуйте сами (а лучше, предложите кому-либо из адептов лжематематики) сложить до конца два, например, таких «действительных числа», как 4,396125… и 2,603875…, и предоставить конечный результат этого сложения. Причем если кто-то скажет, что сумма данных «чисел» равна числу 7, то он будет не прав. Ибо здесь у каждого «числа» приведены только первые семь цифр, а остальные, количество которых бесконечно, остаются неизвестными. Поэтому при их сложении получится (но с точностью лишь до шестого знака после запятой, и, следовательно, отнюдь не являющееся конечным результатом) «число» 7,00000…. Кстати, по той же самой причине нельзя утверждать и то, что, например, бесконечные «числа» 1,945… и 1,945… равны между собой. Кроме того, подлинным числам присуще еще и свойство быть четными или нечетными, коим «иррациональные числа», в силу своей неопределенности, вызванной их бесконечностью, не обладают.

____В-четвертых, никакие числа не могут непрерывно следовать друг за другом.

____Так, об отсутствии промежутков «между точками на действительной оси» необходимо заметить следующее. Как было доказано выше, точки ни при каких обстоятельствах не могут образовать друг с другом нечто непрерывное, обладающее протяженностью, так как собственная протяженность каждой точки в отдельности равна нулю. То же самое касается и «действительных чисел». Ведь, чтобы они следовали друг за другом без промежутков, среди них должны существовать пары таких различных, не равных между собой «чисел», разность которых была бы равна нулю.

____Таким образом, как ни крути, а какой-либо непрерывной последовательности из точек или чисел не получается. Поэтому, дабы избавиться от указанных противоречий и больше не морочить никому голову всякой ерундой, остается только одно: вновь вернуться в лоно подлинной математики, продолжая и дальше «перескакивать через отрезок длины» как от точки к точке, так и от числа к числу.

____И наконец, в-пятых, допущение возможности существования дробных бесконечных «чисел», делает необходимым существование целых бесконечных «чисел».

____Действительно, если взять, например, «иррациональное число» 1,4142135…, то его дробная часть будет представлять собой не что иное, как частное от деления «бесконечного целого числа» 4142135… на такого же рода «число» 1000000…. То есть выходит, что получить «иррациональные числа» можно лишь с помощью «бесконечных целых чисел». Поэтому наделение правом на существование «дробных бесконечных чисел», влечет за собой необходимость наделения тем же правом «целых бесконечных чисел».

____Собственно говоря, как раз отсюда-то Кантор и пришел к выводу о необходимости создания теории «бесконечно больших целых чисел», построение которой потребовало от него обращения к тем самым «множествам-вместилищам», наделенным им способностью существовать независимо от образующих их элементов.

* * *

____Поскольку канторово множество-вместилище не зависит от входящих в него элементов, то оно может либо содержать их в себе, либо быть совершенно пустым.

____Откуда получается, например, что пока «стадо коров» пасется самостоятельно, отдельно от коров, оно будет являться «пустым множеством». А если коровы вдруг ненароком забредут в него, то они окажутся «принадлежащими» ему.

____И всю эту нелепость про «пустое множество» Кантор выдумал лишь с целью оправдать отнесение им нуля к разряду чисел.

____Кроме того, игнорируя противоположность понятий единицы и множества, он полагал, что множество-вместилище может быть образовано также (подобно «стаду», состоящему из одной коровы) одним единственным элементом, превращенным тем самым в «множество» самого себя. А это, в свою очередь, заставило его наделить все множества-вместилища еще и совершенно противоестественной способностью являться «собственными подмножествами», то есть быть «частями самих себя».

____Однако такой поворот событий Кантора ничуть не смущал. Он был убежден, что только в его представлениях (ибо они ниспосланы ему свыше) и отражается положение вещей, которое существует в действительности. Остальным же людям свойственно ошибаться, поэтому они обязаны внимать и верить его словам.

____Причем Кантор, разумеется, понимал, что построение арифметики «бесконечных целых чисел» должно начинаться с предъявления доказательств возможности их существования. Поэтому, прежде всего, его интересовали множества-вместилища, содержащие именно бесконечные количества элементов. А для их сравнения он применял так называемый принцип взаимно однозначного соответствия, суть которого состоит в следующем.

____То есть всем элементам множества A нашлись пары из числа элементов множества B как и всем элементам множества B нашлись пары из числа элементов множества A, поскольку оба эти множества имеют одинаковые количества элементов. А это и означает, что между элементами заданных множеств существует взаимно однозначное соответствие. Причем, как видим, единственным условием существования такого соответствия между элементами двух конечных множеств является равенство количеств образующих их элементов.

____Этот способ, пригодный лишь для сравнения конечных множеств, первым применительно к бесконечным множествам использовал чешский математик и философ Б. Больцано (1781-1848).

____Чтобы показать, что сравнение количеств элементов таких множеств неминуемо приводит к неразрешимым противоречиям, он ввел для них понятие эквивалентности, тождественное понятию равенства, применяемому при сравнении конечных множеств.

____Так, противоречивость предположения о равенстве какой-нибудь конечной величины своей собственной половине является для всех несомненной. Но попробуем, например, сравнить количество всех натуральных чисел с их частью, образованной множеством всех четных чисел. Для этого мысленно умножим поочередно каждое число бесконечной последовательности

N = {1, 2, 3, 4, 5, …}

натуральных чисел на 2. В результате получим бесконечную последовательность

Nчет. = {2, 4, 6, 8, 10, …},

которая и будет представлять собой множество всех четных чисел.

____Как видим, здесь не возникает никаких сомнений в том, что между множествами N и Nчет существует взаимно однозначное соответствие, поскольку мы поочередно умножали на 2 каждое из натуральных чисел. И, следовательно, они содержат одинаковые количества элементов, то есть эквивалентны друг другу, Но ведь четные числа, как известно, составляют только часть натуральных чисел. Стало быть, отсюда выходит, что в случае сравнения бесконечных количеств целое может оказаться эквивалентным (равным) одной из своих частей. А это противоречит нашим представлениям об отношении целого к его собственным составным частям.

____Однако, тщательно анализируя приведенные рассуждения, нельзя не заметить в них ошибку. Дело в том, что мы не имеем права считать какое бы то ни было бесконечное множество чем-то единым целым.

____Ведь целым можно назвать только то, что является итогом процесса его образования из определенного (конечного) количества элементов, представляющих собой части этого целого.

____Возьмем, предположим, множество

{1, 2, 3, 4, 5}

натуральных чисел, действительно составляющих единое целое, и добавим к ним число 6. В результате получим новое множество

{1, 2, 3, 4, 5, 6},

отличное от исходного и являющееся новым целым. Причем если мы и дальше продолжим добавлять к полученному множеству натуральные числа, каждое из которых будет на единицу больше предыдущего, то обнаружим, что в этом случае процесс формирования целого из бесконечного количества частей не может быть доведен до конца по причине отсутствия этого конца. И, следовательно, получить тут нечто целое в виде последовательности всех натуральных чисел до единого нам не удастся.

____Таким образом, эквивалентность любого бесконечного множества собственному подмножеству вовсе не свидетельствует о том, будто бы при этом «целое равно своей части». Поскольку, как мы только что выяснили, бесконечное количество чего-либо не представляет собой никакого целого вообще. И если бесконечное множество «эквивалентно» своему подмножеству, то это указывает только на то, что такое подмножество является столь же бесконечным, как и его множество.

____Кантор был знаком с исследованиями Больцано и, конечно, понимал, что никакое целое составить из бесконечного количества частей нельзя. Поэтому, чтобы как-то обойти это препятствие, возникшее на его пути в ходе создания им арифметики бесконечного, он и прибегнул к смешению понятия множества каких-нибудь объектов как результата их объединения с понятием вместилища как отдельного объекта, способного существовать вне зависимости от его содержимого.

____А далее Кантор рассуждал, похоже, так. Ведь натуральные числа появились в силу возникновения необходимости в подсчете различных конечных количеств с целью последующего их сравнения. Стало быть, «бесконечные целые числа» тоже должны представлять собой конечный результат подсчета бесконечного количества элементов, принадлежащих бесконечному множеству-вместилищу. Но для этого надо создать хотя бы видимость возможности завершения бесконечного подсчета.

____И тогда Кантору пришла в голову спасительная, на его взгляд, мысль назвать бесконечные множества-вместилища, эквивалентные последовательности всех натуральных чисел, «счетными». Ибо окружающие при этом будут полагать, что раз уж какое-то бесконечное множество-вместилище называется «счетным», то количество всех его элементов подлежит подсчету. А такому бесконечному количеству не может не соответствовать некоторое «бесконечное целое число». И нет никакой беды в том, что тем самым тут смешиваются понятия конечного и бесконечного количеств. Ведь «благая» цель должна оправдывать любые средства даже в математике.

____После проведения такой подготовки, именуя почему-то количество всех элементов, вхо-дящих в любое множество-вместилище, «мощностью», Кантор приступает, наконец, непосредственно к сравнению различных множеств-вместилищ с последовательностью натуральных чисел, изобретая для каждого случая в отдельности особый способ.

____При этом ему удалось доказать, что «счетным» является множество-вместилище всех рациональных чисел. Посредством всевозможных ухищрений он смог доказать также «счетность» нескольких, как ему казалось, более обширных бесконечных множеств-вместилищ. Кроме того, им было установлено еще, что с точки зрения геометрического атомизма количество точек, образующих площадь квадрата, «равномощно» количеству точек, составляющих одну из его сторон. Откуда площадь квадрата оказывалась равной длине стороны. Но, ничуть не смущаясь этим, он в своем сообщении Дедекинду выражает изумление и восторг по поводу получения им столь «неожиданного» результата. Хотя на самом деле это не было для него неожиданностью, поскольку сначала он принимал желаемое за действительное, а уж потом начинал искать доказательства тому.

____Однако «счетность» бесконечных количеств свидетельствует лишь о том, что все они одинаково бесконечны. А введение «бесконечных целых чисел» требует, чтобы они отличались друг от друга. Поэтому построение теории этих «чисел» должно начинаться с указания таких бесконечных количеств, которые не являются «счетными».

____Подобные рассуждения и привели Кантора к мысли о том, что «несчетным» надо сделать множество-вместилище всех своих «действительных чисел». Но на поиски наиболее правдоподобного варианта доказательства тому у него ушло около семнадцати лет.

____После мучительно долгих размышлений он понял сначала, что поставленная им перед собой задача может быть значительно упрощена и сведена к доказательству «несчетности» только тех «действительных чисел», которые принадлежат, например, интервалу (0, 1) «числовой оси». Ибо если «несчетной» окажется даже какая-нибудь бесконечная часть бесконечного множества-вместилища, то таковым оно будет являться и все в «целом».

____Таким образом, Кантору оставалось лишь подобрать подходящий способ установления взаимно однозначного соответствия между последовательностью всех натуральных чисел и всеми содержащимися в интервале (0, 1) «действительными числами», позволяющий опровергнуть «счетность» последних. Причем это, как он полагал, ему удалось-таки сделать.

____Стремясь и тут удивить всех неожиданностью полученного результата, Кантор использует прием, именуемый «методом от противного», который позволяет ему создать видимость того, будто он и впрямь намеревался доказать «счетность» упомянутого «множества», но потом вдруг внезапно обнаружил, что оно является «несчетным».

____А непосредственно для «пересчета» количества всех «действительных чисел» интервала (0, 1) Кантор изобрел так называемый «диагональный» способ, заключающийся в следующем.

____

____Получение Кантором «нового действительного числа», якобы не входящего в составленный им «полный» их перечень, и стало доказательством того, что «множество всех действительных чисел», содержащихся в интервале (0, 1), является «несчетным», поскольку, мол, последовательности всех натуральных чисел для их пересчета не хватает.

* * *

____Столь «выдающееся открытие» можно, конечно, сделать только в стенах психиатрической клиники, «отдыхая» там от «мирской суеты». И потому нет ничего удивительного в том, что при первом же знакомстве с этим «доказательством» у любого здравомыслящего человека возникает сомнение в его истинности. Ведь для подсчета бесконечного количества чего-либо ни у кого не хватит времени, поскольку его должно быть в этом случае бесконечно много. Но как тут может не хватить натуральных чисел, если их количество тоже бесконечно – это в нормальной голове никак не укладывается.

____Однако совершенно иной точки зрения придерживаются на сей счет те из представителей казенной науки, кто, грея руки на пропаганде лжематематической идеологии, основу которой составляет канторизм, обманывает государство, а вместе с ним и весь народ. Захламляя печатные научные издания своими никому, кроме них, не нужными псевдонаучными «трудами», они получают за это хорошие гонорары, а также различные должности, ученые звания и степени. Так что нести с умным видом всякую околесицу оказывается для них не слишком хлопотным, но зато очень прибыльным делом. И, следовательно, главная их забота – это, любыми путями избегая разоблачения, иметь возможность продолжать и дальше одурачивать всех подряд явной ахинеей. Поэтому если они чувствуют вдруг угрозу такому своему «бизнесу» в чьих-то рассуждениях о «методах Кантора», то, выступая от имени представителей «официальной науки», заявляют, например, следующее:

____«Диагональный метод Кантора играет ключевую роль не только при доказательстве несчетности континуума (множества действительных чисел), но и в знаменитой теореме Геделя о неполноте, в теории общерекурсивных и частично рекурсивных функций, для установления неразрешимости исчисления предикатов и для решения многих других важных метаматематических задач. Г. Кантор разработал и впервые применил диагональный метод для доказательства теоремы, названной впоследствии его именем. Речь идет о теореме, утверждающей, что мощность («количество» элементов) произвольного множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств. Частным случаем этого утверждения как раз и является утверждение о несчетности множества действительных чисел.

____Мы не будем здесь подробно останавливаться на значении этого фундаментального результата (формулировку которого можно встретить даже в элементарных математических справочниках) для современной математики, в частности для математического анализа. Об этом подробно говорится в обширной как математической, так и философской литературе. Остановимся на одном связанном с теоремой Кантора интересном феномене, относящемся не столько к сфере математики и философии, сколько к области психологии. Дело в том, что теорема Кантора практически с самого момента ее доказательства является излюбленной мишенью многочисленных дилетантов и «математиков-любителей», пытающихся всевозможными способами ее «опровергнуть». В этом отношении судьба данной теоремы схожа с судьбой многих классических общенаучных результатов и проблем – таких как проблема создания вечного двигателя…» [11].

____То есть отсюда выходит, что поскольку «диагональному методу» доказательства теоремы «о несчетности континуума», отведена «ключевая роль», ибо на нем держится вся лжематематика, то упомянутая теорема как и способ ее доказательства может служить «излюбленной мишенью» для критики лишь «дилетантам» и «математикам-любителям». О «значении» же этой теоремы, рассматриваемой в качестве «фундаментального результата (формулировку которого можно встретить даже в элементарных математических справочниках)», достаточно «подробно говорится в обширной как математической, так и философской литературе». И потому поиски опровержения такого «классического общенаучного результата» равносильны заведомо обреченным на неудачу попыткам создания «вечного двигателя».

____А чтобы вообще ни у кого не появлялось желание заниматься этими поисками, лжематематики, которым в свое время удалось попасть в придворные советчики по вопросам «повышения эффективности и качества» математического образования, насоветовали обучать всех «теории множеств» еще в школе, начиная с младших классов. Тем самым предполагалось, что в ходе принудительного внушения детям веры в «учение Кантора» одни примут эту веру и станут убежденными приверженцами канторизма, а у других, кто не сможет ее принять, возникнет на всю оставшуюся жизнь стойкое отвращение к математике. И в результате, как известно, так оно и получилось. Причем большинство молодежи именно из-за этого отвращения, приобретенного ими в школе, стало избегать овладения специальностями, требующими наличия серьезных математических знаний. Поэтому сегодня мало кто желает идти в инженеры, а все норовят стать менеджерами, юристами, психологами и пр.

____Что же касается «связанного с теоремой Кантора интересного феномена», заключающегося в попытках ее опровергнуть и относящегося «не столько к сфере математики и философии, сколько к области психологии», то по этому поводу должен заметить следующее.

____То, что Кантор был психически больным человеком, есть документально установленный исторический факт. И если уж говорить о «феномене, относящемся к области психологии» всерьез, то в качестве уникального патологического случая самого пристального внимания, причем не столько психологов, сколько психиатров или даже психопатологов, здесь заслуживает как раз придуманное им «учение о множествах». Так что не стоит сваливать все с од-ной единственной больной головы Кантора на многочисленные совершенно здоровые головы тех, кто отнюдь не без оснований сомневается в его здравомыслии, а вместе с тем и в порядочности людей, проповедующих канторизм.

____Обычно в доказательстве теоремы «о несчетности континуума» сомнения у большинства исследователей вызывает перечень «действительных чисел». При этом в поисках ошибки в рассуждениях Кантора рассматривается форма либо всего перечня в целом, либо записи входящих в него «чисел». И только немногие подвергают сомнению сам способ доказательства теоремы, считая ошибочным получение Кантором «действительного числа», которое почему-то вдруг не вошло в полный их перечень. Но оказалось, что опровергнуть ее можно, идя именно этим путем. Ибо он-то и привел меня к доказательству справедливости следующего утверждения.

____Теорема. То из двух любых сравниваемых между собой множеств, которое содержит меньшее количество элементов, является конечным.

____Эта теорема, обладающая столь очевидной истинностью, есть фундаментальный закон математики, позволяющий навсегда избавиться от кантористской «гидры», которая имеет, по словам Пуанкаре, «слишком много голов», нанеся ей смертельный удар в самое «сердце», коим служит для нее пресловутая теорема «о несчетности континуума».

____Ведь теперь становится понятно, что, доказывая ее, Кантор обманывал себя и других тогда, когда утверждал, будто множество всех натуральных чисел, неожиданно исчерпавшись в ходе подсчета им всех «действительных чисел» интервала (0, 1), осталось, тем не менее, бесконечным. В подтверждение своей правоты, «абстрагировавшись от порядка» расположения «действительных чисел» на «числовой оси», он составлял из них перечень, записывая их не по мере возрастания их значений, а хаотически. И делал это потому, что не мог указать какие-нибудь два таких «числа», которые следовали бы одно за другим непрерывно. Поскольку их разность в этом случае должна быть равна нулю и, следовательно, сами они должны быть равными друг другу.

____А построить «непрерывную числовую ось» из равных «действительных чисел» (как и протяженную линию из «неделимых точек», не обладающих протяженностью) нельзя. Ибо для всякого множества-вместилища M, образованного любым количеством таких «чисел», равных, допустим, a, будем иметь:

M = {a, a, a, …} = {a}.

Откуда выходит, что в действительности тут не только непрерывной, но и вообще никакой числовой последовательности или подлинного множества не получается.

____Далее Кантор утверждал, будто составленный им перечень содержит «множества» всех как натуральных чисел, так и «действительных чисел». То есть тем самым им предполагалось, что оба «множества» исчерпываются этим перечнем и, следовательно, являются конечными. Однако про последние элементы, коими они должны заканчиваться, он ничего не го-ворил. Причем делал это умышленно, чтобы, показав затем свой «диагональный» фокус, тут же объявить о «несчетности континуума».

____Хотя если последовательность всех натуральных чисел считать полностью исчерпанной, то она, в соответствии с приведенной выше теоремой, должна непременно иметь последнее, завершающее ее число. И тогда поочередное прибавление к нему по одной единице позволяет убедиться в бесплодности попыток исчерпать всю эту последовательность до того конца, которого у нее нет.

которое не входит в указанный перечень. Но вместе с ним получится еще и новое натуральное число (n + 1), тоже отсутствующее в перечне. А это означает лишь то, что составить полный такой перечень, перечислив все элементы обоих множеств до конца, не представляется возможным и что они, ничем в своей бесконечности не отличаясь друг от друга, являются, говоря языком Кантора, «равномощными». Поэтому на самом деле его «множество всех действительных чисел» отрезка (0, 1) будет «счетным».

____Тем не менее, веря в неопровержимость своего «диагонального доказательства несчетности континуума» и исходя из убеждения о наличии некой иерархии бесконечных количеств, Кантор, похоже, пытался найти примеры еще и таких «несчетных множеств», «мощности» которых были бы меньше «мощности континуума». Но, вероятно, готовясь снова создать видимость неожиданности получения ожидаемого результата, он высказал сначала противоположное предположение о том, что «всякое несчетное множество обладает мощностью континуума». Это предположение известно под называнием «континуум-гипотеза». Очевидно, Кантор надеялся придумать ей какое-нибудь достаточно правдоподобное опровержение. Однако ни ему самому и ни кому из его последователей так и не удалось ни доказать, ни опровергнуть ту гипотезу.

____И причина этому теперь ясна. Она, согласно указанной теореме о конечности меньшего из двух количеств, состоит в том, что существование «несчетных» множеств откровенно противоречит естеству. Ибо допущение их наличия возможно только посредством «оконечивания» последовательности всех натуральных чисел, то есть путем уверения окружающих в ее конечности, несмотря на присущую ей бесконечность.

____Таким образом, выходит, что никакой иерархии бесконечных количеств в действительности нет и быть не может. Поэтому вся «теория множеств» Кантора от начала и до конца есть не что иное, как набор совершенно абсурдных домыслов его больного воображения. А различного рода попытки обосновать введение в математику как «иррациональных», так и любых других «бесконечных чисел» следует признать пустой затеей, заведомо обреченной на неудачу.

____Кроме того, нельзя не заметить, что на самом деле никакой надобности во введении «иррациональных чисел» в математику нет. Потребность в них явно надумана. И подтверждением тому является, например, приведенное в одном из учебников для студентов педагогических вузов, такое обоснование необходимости обращения к этим «числам»:

____Каждое иррациональное число можно с любой степенью точности приблизить рациональ-ными числами; для этого достаточно брать в десятичном разложении этого числа конечное множество знаков после запятой. Поэтому на практике при различных измерениях оперируют рациональными числами. Но в общих математических законах и формулах нельзя обойтись без иррациональных чисел (например, формула длины окружности … включает иррациональное число…)» [12].

____То есть сначала здесь совершенно справедливо отмечается, что никакая практическая деятельность людей не требует применения «иррациональных чисел». И, действительно, производя различные расчеты и вычисления, все, включая и самих математиков, пользуются лишь рациональными числами, позволяющими выразить числовые значения несоизмеримых величин с любой необходимой степенью точности. А затем вдруг автор заявляет, что все-таки «в общих математических законах и формулах нельзя обойтись без иррациональных чисел», поскольку таковым является, например, отношение длины всякой окружности к ее диаметру.

____Однако такое обоснование введения в математику «иррациональных чисел», похоже, рассчитано не на будущих учителей математики, а, скорее, на каких-то недоумков. Ибо оно сводится к следующему: мол, так как несоизмеримые величины принято кем-то называть «иррациональными числами», то без этих «чисел» математика существовать не может. Откуда получается, что автор, смешивая понятия числа и величины, так и не дает никакого вразумительного ответа на вопрос о том, кому и зачем понадобилось вводить в математику «иррациональные числа».

____И удивляться этому не следует, поскольку выдавать желаемое кем-то или кажущееся кому-то за действительное, неся при этом всякую чепуху и называя вещи не своими именами, является обязанностью каждого представителя казенной лжематематики.

____Причем они твердо уверены в вечности такого рая, созданного для них Кантором, так как в свое время им удалось-таки добиться, чтобы поголовно всех детей принуждали с младших классов зубрить азы канторизма. При этом школьников заставляют верить в откровенный бред, вроде того самого «множества» коров, пасущегося отдельно от коров, калеча тем самым их психику на стадии ее формирования.

____И теперь мы пожинаем горькие плоды такого обязательного лжематематического образования. Ибо нельзя не заметить, что около четверти нашей молодежи, поддавшись в школе влиянию канторизма, лишаются возможности адекватно воспринимать действительность в силу нарушения лжематематикой их психики. В то время как другая ее часть, оказавшись способной противостоять лжематематическому насилию, обретает отвращение ко всему тому, что называется «математикой». А в итоге страдает вся молодежь в целом. Что оборачивается для нашего общества серьезными социальными и экономическими проблемами.

____Поэтому министр образования и науки А. А. Фурсенко абсолютно прав, считая необходимым изъять из школьных программ лжематематику, напыщенно именуемую ее представителями «высшей математикой», оставив в них лишь «элементарную», то есть не противоречащую естеству и потому доступную всеобщему пониманию, подлинную математику.

____Так что настало время лишить живущих за казенный счет лжематематиков их кантористского рая. Но для этого надо освободить путь гласности, обеспечив открытое и широкое обсуждение вопроса о том, что такое математика и являются ли ею такие вещи, как «учение о множествах», «теория пределов», «логистика», «метаматематика» и прочее.

____И я думаю, такое обсуждение должно быть инициировано именно министерством обра-зования и науки РФ посредством открытия, например, в Интернете специального сайта, посвященного выявлению действительного состояния, в котором пребывает математика на сегодняшний день. Причем желательно, чтобы там могли выступать на эту тему не только ее официальные представители, но и имели бы право высказать свое мнение на сей счет учителя математики, представители других областей научных знаний и те специалисты, кто непосредственно использует математические знаниями в свой практической деятельности. Или для этого можно создать специальный журнал, назвав его, предположим, «Математика и общество». Но в любом случае цена поднятого здесь вопроса стоит того, чтобы вынести его на всеобщее обсуждение.

28.03.2009 г.

__________________________

[1] «Вестник РАН, 1999, том 69, № 6, с. 553-558.
[2] Энгельс Ф. Диалектика природы. – М., Политиздат, 1965, с. 160.
[3] Пуанкаре А. О науке. Перевод с французского под редакцией Л. С. Понтрягина. – М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983, с. 368-369.
[4] Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой. Анализ бесконечно малых. – М.: Наука, 1980, с. 6.
[5] Джозеф У. Даубен. Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств, Scien-tific American, № 8, август 1983, с. 76-86.
[6] Стол Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Перевод с английского под редакцией Ю. А. Шихпновича. – М., «Просвещение», 1968, с. 11-12.
[7] Андреева Т. Ю., Саушкин М. Н. «Логические парадоксы». – Интернет-публикация, «Путеводитель в мире науки для школьников» на http://www.uic.ssu.samara.ru/~nauka, 2007.
[8] Бакельман И. Я. Высшая геометрия. (Учеб. пособие для пед. ин-тов). – М., «Просвещение», 1967, с. 50.
[9] Бахвалов С. В., Иваницкая В. П. Основания геометрии (главы высшей геометрии), ч. 1. учебное пособие для вузов. – М., «Высшая школа», 1972, с. 158-159.
[10] Ожигова Е. П. Что такое теория чисел. Народный университет. – М., «Знание», 1970, с. 5-6.
[11] Шрамко Я. В. Теорема Кантора и «фигуры умолчания» в научной дискуссии. – «Вестник Московского университета». Серия 7. Философия. №5. 2003, с. 68-72.
[12] Баврин И. И. Высшая математика: Учебник для студентов естественно научных специальностей педагогических вузов. – М.: ИЦ «академия»; Высшая школа, 2000. – С. 105.

Если у кого-то из посетителей нашего сайта по поводу рассмотренной здесь проблемы возникли вопросы, пожелания или имеются какие-то мнения, отличные от моих взглядов на нее, то предлагаю поделиться ими со мною. При этом обещаю, что ни один из Ваших отзывов не останется без внимания и публичного ответа.

Предупреждаем, что права автора публикуемых здесь статей защищены законом! Поэтому приведение любых выдержек из его работ должны обязательно сопровождаться ссылками на имя автора с указанием даты публикации работы и адреса нашего сайта. А тиражирование его работ, как в печати, так и на каких-нибудь других сайтах в Интернете, допускается только с согласия самого автора.

Темы: Статьи |

Отзывы