Математика

Архивы

Календарь

Октябрь 2020
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Апр    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031  

метки

Обоснование математического анализа академик арнольд арифметика непрерывности математика обоснование математики парадоксы зенона проблема несоизмеримости теорема кантора теория "бесконечно больших чисел" теория "бесконечно исчезающих величин" теория множеств теория чисел ученый-физик

« ПРОБЛЕМА ИЗМЕРЕНИЯ НЕСОИЗМЕРИМОГО | Главная | Решение проблемы обоснования анализа »

«Антинаучная революция» или кризис в развитии математики

Автор: Рогов П.В. | 10 Авг 2008

В 1999 году «Вестник РАН» опубликовал статью академика В. И. Арнольда под названием «Антинаучная революция и математика». В ней говорится следующее:
- «Расцвет математики … сменяется тенденцией подавления науки и научного образования обществом и правительствами большинства стран мира. Ситуация сходна с историей эллинистической культуры, разрушенной римлянами, которых интересовал лишь конечный результат, полезный для военного дела, мореплавания, архитектуры»;
- «Американизация общества в большинстве стран, которую мы наблюдаем сейчас, может привести к такому же уничтожению науки и культуры современного человечества»;
- «Математика сейчас, как и два тысячелетия назад, – первый кандидат на уничтожение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных рабов невежественными. Правительства всех стран начали исключать математические науки из программ средней школы»;
- «Российское правительство пытается довести преподавание математики до американских стандартов»;
- «В середине XX столетия обладавшая большим влиянием мафия “левополушарных математиков” сумела исключить геометрию из математического образования (сперва во Франции, а потом и в других странах), заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями»;
- «К несчастью, я не могу отрицать виновности математического сообщества в современном неприятии математики общественным сознанием»;
- «Определим умножение натуральных чисел с помощью правила умножения “столбиком”. Коммутативность умножения (ab = ba) становится тогда трудной теоремой, которую, однако, можно строго доказать, выведя ее из этого определения. Заставляя несчастных школьников учить подобные доказательства, “левополушарные преступники” создали современное резко отрицательное отношение общества и правительства к математике.
Коммутативность умножения можно понять, только пересчитывая по рядам и шеренгам выстроенную роту солдат или же вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Все попытки избежать этого вмешательства реального мира в математику - сектантство, которое восстанавливает против себя любого разумного человека и вызывает у него отвращение к этой науке, к умножению и к любым доказательствам. Подобное “абстрактное” описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений.
Несмотря на это, “левополушарные больные” сумели вырастить целые поколения математиков, которые не понимают никакого другого подхода к математике и способны лишь учить таким же образом следующие поколения. Отвращение к математике со стороны министров, подвергшихся в школе унизительному опыту подобного обучения, – здоровая и законная реакция. К сожалению, это их отвращение распространяется на всю математику и может убить ее целиком» (1).

Тяжело, конечно, об этом говорить, но факт остается фактом: математика на сегодняшний день и впрямь находится на грани уничтожения, а если быть точнее, то – самоуничтожения. Ибо причиной тому является возникшее еще более трех веков назад и продолжающееся до сих пор пренебрежительное отношение математиков к достоверности математических знаний – к степени соответствия исходных ее положений действительному положению вещей, то есть естеству. Поэтому спасти математику в сложившейся ситуации могут только сами математики.

*       *        *

Обычно математику принято определять как отрасль науки, изучающую величины, количественные отношения и пространственные формы. Однако это определение ничего не говорит нам о том месте, которое она занимает среди других отраслей науки. И чтобы оценить роль, играемую математикой в процессе познания, надо сначала ответить на вопрос: что такое наука?
В современных толковых словарях утверждается, будто наука – это система знаний о закономерностях в развитии природы, общества и мышления, а также отдельная отрасль таких знаний. Но совершенно очевидно, что за причину здесь выдается ее следствие. Ведь, прежде всего, наука представляет собой определенную сферу человеческой деятельности, направленную на получение новых знаний об окружающем нас мире и о нас самих. А некая система уже имеющихся знаний есть лишь продукт той деятельности.
Между тем правильно говорят, что «все познается в сравнении» и «всякая наука начинается с измерения», то есть сравнения вещей посредством общей для них меры. Ведь с помощью измерений можно устанавливать не только количественные характеристики или пространственные формы вещей, но, принимая за меру какое-либо конкретное их свойство, выявлять также присущие им качественные особенности. И, следовательно, чтобы отделить науку от всего того, что ею не является, ее надо определять не как какую-то систему накопленных знаний о закономерностях природы, а как процесс познания естества посредством измерений.
Такое определение понятия науки предельно точно отражает ее сущность, позволяя к тому же уверенно отличать результаты подлинной научной деятельности от всевозможных плодов «свободного творчества», которое зачастую свободно выдает желаемое кем-то или кажущееся кому-то за действительное.
Кроме того, оно указывает еще и на исключительность положения, занимаемого по отношению к другим отраслям науки математикой, так как именно она и изучает эти самые меры измерения и методы сравнения вещей при установлении их количественной и пространственной определенности. Откуда со всей очевидностью следует, что, играя столь важ-ную роль в процессе познания естества, математика должна нести особую ответственность за достоверность распространяемых ею знаний.
Многие, правда, полагают, будто бы достоверность математических знаний не может вызывать никаких сомнений, поскольку математика является исключительно строгой и точной наукой, а все ее высказывания представляют собой непреложные истины. Но те, кто так думает, глубоко ошибаются, ибо причин для сомнений в ее абсолютной непогрешимости имеется предостаточно.

*      *       *

Некоторые философы, отвергая любые сомнения в достоверности математических знаний, утверждают, например, следующее: «Математика издревле понималась как абсолютно строгая наука, где все положения доказаны совершенно определенно и навсегда. Самые выдающиеся мыслители античности, средних веков и нового времени пытались лишь объяснить непреложность математических истин, но никогда не ставили их под сомнение» (2).
Однако этот довод, противореча известным историческим фактам, является откровенным вымыслом. В доказательство чему достаточно вспомнить, к примеру, о сомнениях в справедливости пятого постулата геометрии Евклида, которыми многие замечательные математики терзались на протяжении двух тысячелетий, и только в XIX веке эти сомнения, разрешившись, наконец, привели к созданию геометрии Лобачевского. Причем таких примеров из истории математики можно привести сколько угодно.
На самом деле в сомнениях по поводу достоверности научных истин нет ничего предосудительного. Более того, такого рода сомнения, возникающие у людей с пытливым умом, наоборот, крайне полезны и даже необходимы. Ведь именно они являются той могучей силой, которая, собственно, и движет процессом развития научных знаний. И математические знания в этом отношении, конечно же, не могут быть каким-то исключением.
Однако, отстаивая свою правоту, приверженцы незыблемости математических истин заявляют, что даже при наличии в математике парадоксов, подобных парадоксам наивной теории множеств, никаких сомнений в достоверности ее канонов возникать не должно. Причем следует иметь в виду, что в математике в целом парадоксов поразительно мало, и парадоксальность вовсе не носит в ней систематический характер. К тому же возникают они лишь по отношению к чрезвычайно искусственным понятиям типа «множества всех множеств». В аксиоматических же теориях математики парадоксы отсутствуют вообще (3).
Действительно, насчет наличия в математике одних лишь парадоксов, и то возникающих в связи с чрезвычайно искусственными понятиями, подобными понятию множества всех множеств, которых в математике поразительно мало, надо заметить, что таких парадоксов в ней и впрямь очень мало. Да и упомянутый парадокс носит отнюдь не математический, а, скорее, философский характер. Так как вопрос о возможности реального существования множества всех мыслимых множеств, которое, очевидно, и само будет содержаться в нем в качестве элемента, представляет собой один из частных случаев следующего вопроса: может ли некое «целое», быть одной из составных частей самого себя?
Следует согласиться также и с тем, что в аксиоматических теориях подобные парадоксы отсутствуют. Но, к великому сожалению, в них присутствуют отдельные исходные положения и выводы, которые противоречат как положению вещей, имеющему место в действительности, так и требованиям, предъявляемым к строгости обоснования различных утверждений в самой математике. И ниже будут приведены примеры таких математических «истин». А пока вернемся к нашей полемике со сторонниками абсолютной непогрешимости математики.
Обращаясь еще к одному из наиболее весомых, на их взгляд, доводов, они настоятельно рекомендуют всем не забывать о неизменной вере ученых в абсолютную строгость и достоверность математического доказательства, то есть о том факте, что любой ученый, сталкиваясь с противоречиями в математизированном рассуждении, изменяет физическую модель, но не логику математического знания (4). В связи с чем, как заверяют наши оппоненты, обычная методологическая установка физика в случае расхождения теоретического предсказания с результатами опыта состоит в том, чтобы искать ошибку именно в физической модели, но ни в коем случае не в математических преобразованиях, если они подтверждены в своей корректности. И это, по их мнению, позволяет им утверждать, что такая вера в надежность математики вполне оправдана, поскольку мы имеем здесь дело с тем случаем, когда практическая установка оказывается более правильной, нежели теоретические построения, доказывающие ненадежность математики из некоторых абстрактных соображений (5).
То есть, за факт, свидетельствующий о наличии неизменной веры ученых в абсолютную надежность математики, здесь выдается довольно странная практическая установка, которой, якобы, придерживаются все ученые. И заключается она в том, что, например, любой ученый-физик при несовпадении теоретически ожидаемых результатов с результатами эксперимента, вроде бы, следуя указанной вере, сразу начнет искать ошибку в некой физической модели, отвергая при этом другие возможные причины тому несовпадению. Хотя в действительности никакой такой «практической установки» у ученых физиков никогда не было, нет и быть, разумеется, не может.
Дело в том, что математический аппарат физики неотделим от нее самой. И потому существование некой «физической модели», представляющей собой физическую теорию, лишенную свого математического аппарата, есть чистейшая выдумка. Ведь любую физическую теорию, исходя из ее сущности, можно назвать также теорией математической, но созданной специально для установления количественной и пространственной определенности при изучении некоторого ряда однородных явлений природы, носящих физический характер. Поэтому если из физической теории мысленно удалить все математическое, то она, полностью лишившись своей определенности, предстанет перед нами в виде своеобразного набора утверждений, экспериментально подтвердить или опровергнуть справедливость которых не представляется возможным.
Так, например, основным законом динамики является, как известно, второй закон Ньютона, в котором говорится о том, как изменяется механическое движение материальной точки под действием приложенных к ней сил. В самом простейшем случае закон утверждает, что действие силы F на материальную точку массой m сообщает этой точке ускорение a, которое определяется равенством a = F/m.
Предположим теперь, что некий экспериментатор, решив убедиться в справедливости закона Ньютона, провел опыт и получил в результате данные, которые не совпадают с расчетными. И он, будучи одержимым верой в незыблемость математических истин, не задумываясь, станет искать ошибку в «физической модели», полученной им путем лишения этого закона его математической основы и потому представляющей собой следующее высказывание: действие силы на материальную точку сообщает этой точке ускорение.
Отсюда возникает вопрос: найдет ли этот «физик» ошибку там, где он ее ищет? Ответ, конечно, совершенно очевиден, и нет сомнений в том, что никакой ошибки в такой «модели», из-за отсутствия в ней количественной и пространственной определенности, он не найдет даже и в том случае, если все выполненные им «математические преобразования будут подтверждены в своей корректности». Поскольку, исходя из этой «модели», нельзя предсказать то, при каких условиях и как именно должно измениться состояние материальной точки под действием силы.
На самом деле причины расхождения результатов опыта с теоретическим прогнозом могут быть следующие: либо исследуемое явление не входит в круг явлений, описываемых используемой для прогнозирования теорией; либо допущена ошибка в математических расчетах ожидаемого результата; либо не достаточно корректно проведен сам эксперимент. И именно этим, а не какой-то надуманной всеобщей верой в абсолютную истинность математических знаний, всегда руководствовались и продолжают руководствоваться ученые в своих научных исследованиях. Многочисленные подтверждения чему можно най-ти, обратившись к истории становления и развития физики.
Итак, оказывается, что все доводы борцов за веру, отвергающую любые сомнения в абсолютной истинности математики, целиком и полностью основаны на лжи. И в этом нет ничего удивительного. Подобно им поступают все, кто воспринимает какие-то сомнения как источник опасной ереси, угрожающей их вере.
Науке же сомнения в достоверности ее знаний никакими негативными последствиями не угрожают. Причем иные из них, как уже говорилось, могут оказаться еще и полезными ей в деле совершенствования существующих и получения новых знаний. Но для этого сомнения из неуверенности в истинности каких-то положений науки должны перерасти в уверенность, что они либо справедливы, либо противоречивы. А чтобы такая уверенность появилась, необходимо сомнительные положения подвергнуть тщательной проверке на их соответствие определенным критериям достоверности научных знаний.
Общим критерием достоверности знаний для всех наук является соответствие их положений и выводов объективной реальности.
Однако этот критерий применительно к математике под разными предлогами зачастую игнорируется.
Так, например, поначалу нам говорят, что объективная реальность представляет собой предмет изучения всех наук. И с этим нельзя не согласиться. Но дальше, «забыв» о том, что изучение действительности есть одна из форм ее отражения, нас начинают вдруг уверять, будто математика – наука своеобразная, она может быть косвенно и отражает, но не изучает объективную реальность. И, следовательно, предмет математики есть ее собственные конструкции, а гарантия достоверности математических знаний состоит в безупречно строгой логике построения этих конструкций.
Конечно, математика – наука и впрямь своеобразная, поскольку в отличие от остальных наук, каждая из которых изучает определенный круг явлений природы, она представляет собой универсальное средство познания естества, широко используемое в других отраслях научных знаний. Но как раз именно это и обязывает ее следить за соответствием своих знаний естеству, не дожидаясь, пока их истинность будет подтверждена или опровергнута на практике другими науками. И потому в ней не может быть и речи о какой-либо свободе конструирования.
Как правило, математические теории строятся по следующей схеме. Сначала указываются первичные термины, то есть объекты изучения и производимые с ними операции. Затем излагается ряд утверждений, которые определяют свойства этих операций и являются исходными положениями теории. Причем в силу убеждения в том, что достоверность указанных утверждений совершенно очевидна, они принимаются без приведения доказательств их справедливости и называются аксиомами (или постулатами). Далее на основании аксиом доказывается истинность положений, называемых теоремами. А уже с помощью аксиом и теорем выводятся все остальные утверждения теории.
Рассматривая эту схему, нельзя не заметить, что абсолютно свободный – произвольный – выбор первичных терминов, аксиом и логики рассуждений при создании какой бы то ни было математической теории недопустим. Чтобы теория носила подлинно научный характер, их выбор должен быть определенным образом обоснован.
Если нам, предположим, нужна теория, позволяющая устанавливать в процессе исследования объективной реальности количественные характеристики чего-либо, то мы, очевидно, в соответствии с той самой реальностью примем в качестве первичных терминов теории не что иное, как натуральные числа и операцию их сложения. Тогда аксиомы при минимальном их количестве будут определять свойства сложения натуральных чисел. А логика построения теории выбирается такой, чтобы аксиомы, теоремы и все остальные утверждения нашей теории натуральных чисел не противоречили как друг другу, так и действительному положению вещей. Откуда видно, что главным мерилом оценки достоверности математических знаний является все-таки степень их соответствия действительности.
Кстати, теория натуральных чисел, принцип построения которой мы сейчас рассмотрели, полностью соответствуя естеству, является единственной математической теорией, не вызывающей никаких сомнений в достоверности всех ее положений и выводов. Поэтому она используется в математике в качестве своеобразного критерия непротиворечивости. И с ее помощью пытаются даже доказывать непротиворечивость других теорий. Но сам способ реализации этой, безусловно, перспективной идеи нельзя признать достаточно эффективным. Поскольку полученное в результате его формального применения доказательство того, что некая математическая теория является в целом непротиворечивой, все-таки отнюдь не исключает возможность обнаружения в ней затем отдельных противоречивых утверждений.

*     *     *

То, что В. И. Арнольд называет «антинаучной революцией», будто бы направленной извне на уничтожение математики, является на самом деле следствием кризиса, имеющего место в ее собственном развитии, причиной возникновения и усугубления которого стала пресловутая вера части математиков в безграничную свободу конструирования математических объектов.
Эта вера обернулась для математики тем, что многие из образующих ее фундаментальную основу исходных положений оказались на поверку явно надуманными конструкциями, не выдерживающими никакой критики.
Обратимся, например, к понятию нуля. Дело в том, что изначально оно появилось в связи с возникновением потребности в определении отсутствия какого-либо количества. Еще вавилоняне в V веке до нашей эры при записи чисел пользовались для обозначения отсутствующего разряда специальным клинописным символом, напоминающим знак равенства. А в начале нашей эры индейцы племени майя применяли для этой цели символ, похожий на полузакрытый человеческий глаз. И, наконец, в V – VI веках н. э. в Индии появилась существующая и поныне запись чисел с использованием для обозначения нуля символа 0.
Многие столетия понятие нуля определялось исключительно как «ничто» – как именно отсутствие всякого количества. Однако в XVII веке с введением в математику методов аналитической геометрии нуль обрел вдруг статус целого числа. Причем на сегодняшний день это мотивируется тем, будто он подобно подлинным числам, определяющим то или иное количество, тоже изображается некоторой точкой на числовой оси.
Но изображение нуля точкой на числовой оси отнюдь не является основанием для того, чтобы его можно было отнести к разряду целых чисел, так как на самом деле каждому целому числу соответствует вовсе не точка, а определенный отрезок числовой оси.
И это легко доказывается на примере геометрического толкования сущности целого числа. Ведь при построении числовой оси сначала, как известно, проводится прямая линия. На ней отмечается какая-либо точка, которая объявляется нулевой точкой и обозначается знаком 0. Далее в определенную сторону от нулевой точки выбирается положительное направление оси, помечаемое обычно стрелкой. Затем выбирается какой-нибудь отрезок произвольной длины, принимаемый за единицу и потому называемый единичным отрезком.
Если теперь отложить этот отрезок на числовой оси от нулевой точки в положительном направлении один раз, то в результате получается отрезок оси [0, + 1], являющийся геометрическим изображением положительного целого числа (+ 1). А если единичный отрезок от-ложить от нулевой точки на числовой оси один раз в противоположном направлении, то в результате получается отрезок оси [0, ─ 1], который будет представлять собой геометрическое изображение отрицательного целого числа (─ 1).
Если же нам необходимо изобразить на числовой оси какое-то целое положительное чис-ло (+ а), то надо будет отложить на ней единичный отрезок а раз в положительном направлении от нулевой точки. При этом получится отрезок [0, + а], и являющийся геометрическим изображением числа ( + а).
На явную абсурдность отождествления чисел с точками числовой оси указывает еще и геометрическое толкование сравнения чисел по величине. Ведь сравнивать по величине можно лишь отрезки оси, ограниченные какими-то ее точками, но нельзя сравнивать по величине сами точки, ибо точки в геометрии, как известно, никакой величиной не обладают. Так что любое число изображается на числовой оси направленным соответствующим образом относительно нулевой точки отрезком, имеющим определенную длину. И лишь один нуль в отличие от чисел изображается именно точкой, которая на числовой оси является точкой начала отсчета. Все же остальные точки числовой оси есть не более чем концы направленных отрезков, взаимно однозначно сопоставляемых числам.
Противоестественное отнесение нуля к целым числам, позволив несколько упростить выполнение арифметических действий с ним, породило, однако, в математике целый ряд проблем, носящих фундаментальный характер, которые остаются открытыми и поныне.
Кроме того, в теории целых чисел присутствуют еще и такое вопиющее в своей противоречивости измышление. Так, обосновывая необходимость введения в математику этих чисел, нам сначала говорят, что потребность в них возникает тогда, когда мы «хотим в числовых понятиях охарактеризовать значение какой-либо величины, которая оказывается меньше некоторого выбранного нами начала отсчета.
Например, при измерении температуры в качестве начала отсчета выбирается температура тающего льда, которая принимается за 0 градусов. За 100 градусов принимается температура кипящей воды. Температура тела более теплого, чем 0 градусов, характеризуется натуральным числом. Для характеристики более холодного, чем 0 градусов, тела или среды делают особое указание. Так, например, говорят, что температура воздуха 5 градусов ниже нуля, или коротко: – 5 градусов» (6). И с этим еще можно было бы согласиться. Но далее нам вдруг сообщают:
«Рассмотрим операции со знаками + и – . Введем действие умножения знаков + и – , полагая:

( + ) • ( + ) = ( – ) • ( – ) = + , ( + ) • ( – ) = ( – ) • ( + ) = – .

Знаки + и – называются противоположными» (7).
Таким образом, действие умножения чисел неожиданно превращается здесь в действие умножения знаков, коими обозначаются, например, слова «холод» и «тепло». Причем оказывается, что в результате умножения «холода» на «холод» должно почему-то получиться «тепло». Конечно, с точки зрения любого здравомыслящего человека все это выглядит более чем странно. Поэтому о какой-либо «истинности» подобных «математических знаний», являющихся на деле откровенной несуразицей, говорить тут, как видим, не приходится.
Порождением уверенности части математиков во вседозволенности при построении научных теорий представляется и понятие «иррационального числа». В настоящее время определяются эти «числа», а также обосновывается необходимость их введения в математику, например, в одном из учебников для студентов педагогических институтов следующим образом:
«Число х называется иррациональным, если оно представимо в виде бесконечной непериодической десятичной дроби

х = а0, а1 а2…ап….

Каждое иррациональное число можно с любой степенью точности приблизить рациональными числами; для этого достаточно брать в десятичном разложении этого числа конечное множество знаков после запятой. Поэтому на практике при различных измерениях оперируют рациональными числами. Но в общих математических законах и формулах нельзя обойтись без иррациональных чисел (например, формула длины окружности l = 2πR включает иррациональное число π).
Множество (совокупность) всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел. Действительные числа изображаются на числовой оси Ox точками. При этом каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой оси и каждой точке оси соответствует определенное действительное число. Поэтому вместо слов «действительное число» можно говорить «точка»» (8).

Удивительная получается картина. Оказывается, «иррациональным числом» можно на-звать любую «бесконечную непериодическую десятичную дробь». Правда, для удовлетворения каких-либо практических нужд в этих «дробях» нет совершенно никакой надобности. Поскольку в действительности, производя любые расчеты, все, включая и самих математиков, пользуются исключительно рациональными числами, позволяющими определять числовые значения несоизмеримых величин с любой необходимой степенью точности. А «иррациональные числа» нужны лишь каким-то математикам, которые при записи, к примеру, формулы l = 2πR, думают, что именно таким «числом» и должно выражаться здесь значение величины π. Поэтому все остальные обязаны считать указанную причину введения в математику «иррациональных чисел» вполне обоснованной.
Кроме того, будущим учителям внушают, что «иррациональные числа» вместе с числами рациональными образуют совокупность так называемых «действительных чисел» и что каждому из этих чисел, а стало быть, и каждой «бесконечной непериодической десятичной дроби» соответствует определенная точка числовой оси. Исходя из чего, понятия «действительного числа» и «точки» будут тождественными.
Однако, позволив себе все-таки усомниться в справедливости сказанного, попробуем сами разобраться во всем.
Сначала ответим на вопрос: что есть число? Как известно, число – это универсальная математическая величина, позволяющая устанавливать количественную и пространственную определенность всего того, что подлежит измерению. Поэтому, разумеется, любую переменную величину, поскольку ей свойственно принимать различные числовые значения, никак нельзя назвать числом. Ведь всякое число, чтобы служить средством установления, предположим, той же количественной определенности чего-нибудь, само должно обладать такой определенностью, то есть быть величиной конечной.
А что такое точка? Как исходное понятие геометрии, точка есть место, не имеющее измерения. Точками являются, например, концы отрезков каких-либо линий. И выше мы уже убедились в том, что на самом деле всякому числу соответствует вовсе не точка числовой оси, а величина ее удаленности от начала координат, то есть длина того отрезка, концом которого она является. Причем числовое значение степени той удаленности точки называется, как известно, ее координатой.
Теперь рассмотрим, к примеру, такое иррациональное «число», выраженное в виде «бесконечной непериодической десятичной дроби», как 0,00…001. При этом заметим, что ничего не мешает нам, по аналогии с рациональными числами, представить его в таком виде:

0,00…001 = 1/10…00.

Откуда получается, что введение в математику «иррациональных чисел» исходит из молчаливого предположения о существовании неких «натуральных бесконечных чисел», подобных «числу» 10…00. Ибо в арифметике, до введения в нее «иррациональных чисел», ни о каком обосновании возможности их существования абсолютно ничего не говорится.
Кроме того, пытаясь определить отрезок числовой оси, соответствующий «числу» 0,00…001, мы обнаружим, что какой-либо конкретной точки, являющейся концом отрезка, длина которого была бы равна этому «числу», на самом деле не существует вовсе. Кто-то, конечно, может возразить нам, заявив, будто, как это следует из «теории пределов» О. Коши, имеет место равенство 0,00…001 = 0.
Но если мы умножим обе части указанного равенства на бесконечно большое «число» 10…00, то в результате получим ложное равенство 1 = 0. Что свидетельствует о полной несостоятельности упомянутой теории, так как величина, бесконечно стремящаяся к некоторому пределу, но совершенно не способная достичь его, не может ни при каких обстоятельствах оказаться равной ему. Поэтому в соответствии с былыми канонами математической строгости и точности использование в математике «иррациональных чисел» никоим образом нельзя признать легитимным.
Отсюда, кстати, со всей очевидность следует, что теория «бесконечно исчезающих величин», составляющая основу математического анализа, а вместе с ней и созданная Г. Кантором теория «бесконечно больших чисел», именуемая «теорией множеств», являются столь же несостоятельными.
Так стоит ли после сказанного здесь «на зеркало пенять», обвиняя всех подряд в проведении «антинаучной революции», направленной якобы на уничтожение математики? И не пора ли здравомыслящим математикам, не дожидаясь окончания этой «революции» как «конца света», объединиться и избавить математику от всего того, что не имеет к ней никакого отношения?

П.В.Рогов

(1) «Вестник РАН», 1999, том 69, № 6, с. 553-558.
(2) В. Я. Перминов. Развитие представлений о надежности математического доказательства. – М.: Изд-во МГУ, 1986. – с. 3.
(3) См.: там же: с. 223-224.
(4) См.: там же: с. 224.
(5) Там же: с. 221.
(6) Е. С. Ляпин, А. Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел, ч. 1, Числа. Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов педагогических институтов. – М., «Просвещение», 1974, с. 68-69.
(7) Там же: с. 71.
(8) И. И. Баврин. Высшая математика: Учебник для студентов естественнонаучных специальностей пе-дагогических вузов. – М.: ИЦ «Академия»; Высшая школа, 2000. – с. 105.

Темы: Статьи |

Отзывы